CONTENTS & ABSTRACTS

In English. Summaries in Estonian

Proceedings of the Estonian Academy of Sciences.

Physics. Mathematics

Volume 55 No. 1 March 2006

Generalization of superconnection in noncommutative geometry; 3–15

Viktor Abramov

Abstract. We propose the notion of a ZN  connection, where ³ 2, which can be viewed as a generalization of the notion of a Z2connection or superconnection. We use the algebraic approach to the theory of connections to give the definition of a ZN connection and to explore its structure. It is well known that one of the basic structures of the algebraic approach to the theory of connections is a graded differential algebra with differential d satisfying d2 = 0. In order to construct a ZN  generalization of a superconnection for any > 2, we make use of a ZN  graded q-differential algebra, where q is a primitive Nth root of unity, with N-differential d satisfying dN = 0. The concept of a graded q-differential algebra arises naturally within the framework of noncommutative geometry and the use of this algebra in our construction involves the appearance of q-deformed structures such as graded q-commutator, graded q-Leibniz rule, and q-binomial coefficients. Particularly, if = 2, = –1, then the notion of a ZN  connection coincides with the notion of a superconnection. We define the curvature of a ZN  connection and prove that it satisfies the Bianchi identity.

Key words: superconnection, covariant derivative, graded differential algebra, graded q-differential algebra.

Superseostuse üldistus mittekommutatiivses geomeetrias

On sisse toodud ZN seostuse mõiste, mida võib vaadelda superseostuse ehk Z2seostuse üldistusena. Superseostuse mõiste on antud V. Mathai ja D. Quilleni artiklis [1], kus autorid on superseostust kasutanud vektorkonna topoloogiliste invariantide konstrueerimiseks. Hiljem on M. F. Atiyah ja L. Jeffrey [3] kasutanud superseostuste formalismi E. Witteni [4] topoloogilise kvantväljateooria geomeetrilise interpretatsiooni kirjeldamiseks. Superseostus tugineb oluliselt diferentsiaalvormide algebra ja supervektorkonna Z2 gradueeringutele. ZN seostus defineeritakse seostuste teooria algebralise formalismi raames. Konstruktsioon baseerub ZN gradueeringuga q-diferentsiaalalgebral  N-diferentsiaaliga d, mis rahuldab tingimust dN = 0 ([5,6]), ja ZN gradueeringuga vasakpoolsel moodulil üle algebra  gradueeringuga 0 elementide alamalgebra. On defineeritud ZN seostuse kõverus ja tõestatud, et kõverus rahuldab Bianchi samasust.

On polynomials that are weakly uniformly continuous on the unit ball of a Banach space; 16–23

Kristel Mikkor

Abstract. We prove quantitative strengthenings of results on polynomials that are weakly uniformly continuous on the unit ball of a Banach space due to Aron, Lindström, Ruess, and Ryan Proc. Amer. Math. Soc., 1999, 127, 1119–1125) and to Toma (Aplicações holomorfas e polinômios τ-contίnuos. 1993). Our method is based on the uniform factorization of compact sets of compact operators.

Key words: Banach spaces, uniform compact factorization, n-homogeneous polynomials.

Banachi ruumi ühikkeral nõrgalt ühtlaselt pidevatest polünoomidest

On tõestatud Aroni-Lindströmi-Ruessi-Ryani [2] ja Toma [4] teoreemide kvantitatiivsed versioonid Banachi ruumi ühikkeral nõrgalt ühtlaselt pidevate polünoomide kohta. Tõestusmeetod tugineb kompaktsete operaatorite kompaktsete hulkade ühtlasele faktorisatsioonile.

Equivalence of realizability conditions for nonlinear control systems; 24–42

Ülle Kotta and Tanel Mullari

Abstract. The relationship between three state space realizability conditions for nonlinear multi-input multi-output differential equations, formulated in terms of different mathematical tools, is studied. Moreover, explicit formulae are provided for calculating the differentials of the state coordinates which, in case the necessary and sufficient realizability conditions are satisfied, can be integrated to obtain the state coordinates. The main differences in comparison with the single-input single-output case are clarified.

Key words: nonlinear control systems, differential input-output equations, state space realiza\-tion, algebraic approaches, geometric approaches.

Mittelineaarsete juhtimissüsteemiderealiseeritavustingimuste ekvivalentsus

On võrreldud erinevaid tarvilikke ja piisavaid tingimusi mitme sisendi ning väljundiga kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandite mittelineaarse süsteemi realiseeritavuseks esimest järku diferentsiaalvõrrandite süsteemina ja tõestatud realiseeritavustingimuste ekvivalentsus. Vaatluse all on esiteks geomeetrilised tingimused, milleks on võrrandisüsteemile vastavas laiendatud olekuruumis nende võrrandite põhjal defineeritud teatud jaotuste involutiivsus. Teiseks on käsitletud algebralisi tingimusi, mis seisnevad nimetatud võrranditele vastavate kaasjaotuste integreeritavuses. Kolmas tingimus on esitatud laiendatud olekuruumis defineeritud vektorväljade Lie sulgude kommutatiivsuse kaudu. Uued muutujad laiendatud olekuruumis, millele üleminek võimaldab kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandite süsteemi realisatsiooni, on ühtlasi esimeses tingimuses sisalduvate jaotuste lahendid, teises tingimuses sisalduvate kaasjaotuste esimesed integraalid ja kolmandas tingimuses sisalduvate vektorväljade invariandid. Ühtlasi on antud valemid selliste diferentsiaalvormide arvutamiseks, mille integreerimine annab realisatsiooni võimaldavad olekumuutujad.

Equivalence of linear control systems on time scales; 43–52

Zbigniew Bartosiewicz, Ülle Kotta, and Ewa Pawùuszewicz

Abstract. The notions of transfer matrix, transfer equivalence, and input-output equivalence for linear control systems on time scales are introduced. These concepts generalize the cor\-responding continuous- and discrete-time versions. Necessary and sufficient conditions for transfer and input-output equivalence are presented. As the main tool, an extension of the Laplace transform for functions defined on a time scale is used.

Key words: time scale, generalized Laplace transform, transfer matrix, input-output equivalence, transfer equivalence.

Lineaarsete juhtimissüsteemide ekvivalentsus üldistatud ajaskaalal

On käsitletud lineaarseid juhtimissüsteeme üldistatud ajaskaalal, mis lisaks pidevale ja diskreetsele ajaskaalale hõlmab ka muid võimalusi. Üldistatud ajaskaala on ideaalne tööriist pidevate ja diskreetsete süsteemideteooria ühendamiseks. Üldistatud ajaskaalal on defineeritud ülekandemaatriksi ja juhtimissüsteemi kaht tüüpi ekvivalentsuse – sisend-väljund- ja ülekandeekvivalentsuse – mõisted. Antud kontseptsioonid üldistavad vastavaid mõisteid pideva ja diskreetse ajaga süsteemide jaoks. On esitatud tarvilikud ning piisavad tingimused süsteemide ülekande- ja sisend-väljund\-ekvivalentsuse kontrollimiseks. Põhiliseks tööriistaks on Laplace'i teisendus üldistatud ajaskaalal defineeritud funktsioonide jaoks.

Lattice distortion by impurities in MgB2; 53–57

Mihhail Klopov

Abstract. The displacement components of B atoms around substitutional Mg-position impurities in MgB2 were calculated ab initio. The size mismatch determines the dominant out-of-plane B-cage distortion in agreement with the observed (Al, Cu) cell volume changes in mixed crystals. A number of impurities can act as effective interband scatterers.

Key words: MgB2, impurities, lattice distortion.

Lisanditest põhjustatud võremoonutus MgB2-s

On arvutatud ab initio B-aatomite nihkekomponendid Mg-sõlme asenduslike lisandite ümber MgB2-s. Aatomraadiuste erinevus määrab B-võrgustiku tasandi­välise moonutuse kooskõlas jälgitud raku ruumala muutustega segukristallides. Rida lisandeid võib põhjustada efektiivset tsoonidevahelist hajutamist.

Dynamic response of an elevator car due to stochastic rail excitation; 58–67

Stefan Kaczmarczyk and Radoslaw Iwankiewicz

Abstract. Elevator cars suffer from vibrations caused by irregularities in the guide system. These irregularities include random imperfections that are responsible for excitation of stochastic nature, resulting in the stochastic response of the car. The present paper focuses on this aspect of the car vibration. The nonstationary equations for the second-order statistical moments are formulated and a model example using the parameters of a typical building elevator installation is presented. It is shown that the weaker the correlation of the rail excitation process the higher the variance of the dynamic displacement of the car.

Key words: elevator car, suspension rope, stochastic excitation, vibration, stochastic process, variance.

Tõstukikabiini dünaamiline reaktsioon juhtrööpa juhuslikele mõjutustele

Juhtsüsteemi ebaregulaarsused kutsuvad esile tõstukikabiini võnkumise. Need on tingitud konstruktsiooni juhuslikest ebatäpsustest ja nende mõju on stoh­has­tilise iseloomuga. Artiklis on vaadeldud kabiini võnkumisi stohhastilisest aspek­tist. On formuleeritud statistiliste momentide teist järku võrrandid ja analüüsitud tulemusi näidismudelil, mille parameetrid vastavad tüüpilisele ehitustõstukile. On näidatud, et mida nõrgem on korrelatsioon juhtrööpa mõjuga, seda suurem on kabiini dünaamilise paigutuse dispersioon.

Instructions to authors; 68–70

Copyright Transfer Agreement; 71